En general, el producto de dos subgrupos S y T es un subgrupo si y solo si ST=TS, y se dice que los dos subgrupos se permutan.
¿Qué hace que un subgrupo sea un subgrupo?
Un subconjunto H del grupo G es un subgrupo de G si y solo si es no vacío y cerrado bajo productos e inversos . … La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con identidad eG, y H es un subgrupo de G con identidad eH, entonces miH=miG.
¿Por qué la intersección de dos subgrupos es un subgrupo?
Ya que al menos el elemento de identidad 'e' es común tanto a H1 como a H2. Dado que H1 y H2 son subgrupos. Por lo tanto, H1 ∩ H2 es un subgrupo de G y ese es nuestro teorema, es decir, la intersección de dos subgrupos de un grupo es nuevamente un subgrupo.
¿Es normal el producto de dos subgrupos normales?
Producto de subconjuntos de subgrupos normales es normal.
¿La unión de dos subgrupos es un subgrupo si no da un ejemplo?
Si un grupo G es la unión de dos subgrupos propios H1 y H2, entonces debemos tener H1⊄H2 y H2⊄H1, de lo contrario G=H1 o G=H2 y esto es imposible ya que H1, H2 son propios subgrupos Entonces G=H1∪H2 es un subgrupo de G, que está prohibido por la parte (a). Por lo tanto, cualquier grupo no puede ser una unión de subgrupos propios.
