Sea P un p-subgrupo de Sylow de G. … Si G es simple, entonces tiene 10 subgrupos de orden 3 y 6 subgrupos de orden 5. Sin embargo, dado que estos grupos son todos cíclicos de orden primo, cualquier elemento no trivial de G está contenido como máximo en uno de estos grupos.
¿Los grupos P son cíclicos?
El grupo trivial es el único grupo de orden uno, y el grupo cíclico C p es el único grupo de orden p.
¿Los subgrupos son cíclicos?
Teorema: Todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos. Si G=⟨a⟩ es cíclico, entonces para cada divisor d de |G| existe exactamente un subgrupo de orden d que puede ser generado por a|G|/d a | G | / d. Prueba: Sea |G|=dn | G |=re norte.
¿Son normales los subgrupos de P Sylow?
Si G tiene precisamente un p-subgrupo de Sylow, debe ser normal de El subgrupo único de un orden dado es normal. Supongamos que un p-subgrupo P de Sylow es normal. Entonces es igual a sus conjugados. Por lo tanto, según el tercer teorema de Sylow, solo puede haber un p-subgrupo de Sylow.
¿Los subgrupos P de sylow son abelianos?
Probamos que los p-subgrupos de Sylow de un grupo finito G son abelian si y solo si los tamaños de clase de los p-elementos de G son todos coprimos con p, y, si p ∈ { 3, 5 }, el grado de cada carácter irreducible en el bloque p principal de G es coprimo con p.
