En matemáticas, un grupo abeliano, también llamado grupo conmutativo, es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos del grupo no depende del orden en que están escritos.
¿Qué son los grupos abelianos y no abelianos?
Definición 0.3: Grupo abeliano Si un grupo tiene la propiedad de que ab=ba para todo par de elementos ayb, decimos que el grupo es abeliano. Un grupo es no abeliano si hay algún par de elementos a y b para los cuales ab=ba.
¿Cómo se identifica un grupo abeliano?
Maneras de mostrar que un grupo es abeliano
- Muestra el conmutador [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 de dos elementos arbitrarios x, y∈G x, y ∈ G debe ser la identidad.
- Muestre que el grupo es isomorfo a un producto directo de dos (sub)grupos abelianos.
¿Cuál es la diferencia entre grupo y grupo abeliano?
Un grupo es una categoría con un solo objeto y todos los morfismos invertibles; un grupo abeliano es una categoría monoide con un solo objeto y todos los morfismos invertibles.
¿Qué grupo es siempre abeliano?
Sí, todos los grupos cíclicos son abelianos. Aquí hay un poco más de detalles que ayudan a explicar "por qué" todos los grupos cíclicos son abelianos (es decir, conmutativos). Sea G un grupo cíclico y g un generador de G.
