En general, convergencia puntual no implica convergencia en medida. Sin embargo, para un espacio de medida finita, esto es cierto y, de hecho, veremos en esta sección que mucho más es cierto.
¿La convergencia en casi todas partes implica convergencia en la medida?
El espacio de medida en cuestión siempre es finito porque las medidas de probabilidad asignan probabilidad 1 a todo el espacio. En un espacio de medida finito, casi en todas partes la convergencia implica convergencia en la medida. Por lo tanto casi convergencia implica convergencia en probabilidad.
¿La convergencia puntual implica continuidad?
Aunque cada fn es continua en [0, 1], su límite puntual f no lo es (es discontinua en 1). Por lo tanto, la convergencia puntual no conserva, en general, la continuidad.
¿La convergencia en L1 implica convergencia puntual?
Así que la convergencia puntual, la convergencia uniforme y la convergencia L1 no se implican entre sí. Sin embargo, tenemos algunos resultados positivos: Teorema 7 Si fn → f en L1, entonces existe una subsecuencia fnk tal que fnk → f puntual a.e.
¿Qué es la convergencia en la teoría de la medida?
En matemáticas, más específicamente en teoría de medidas, hay varias nociones de convergencia de medidas. Para un sentido general intuitivo de lo que significa convergencia en medida, considere una secuencia de medidas μ en un espacio, compartiendo una colección comúnde conjuntos medibles.