La completitud del espacio métrico no se conserva mediante el homeomorfismo.
¿Qué conserva el homeomorfismo?
Un homeomorfismo, también llamado transformación continua, es una relación de equivalencia y una correspondencia biunívoca entre puntos en dos figuras geométricas o espacios topológicos que es continua en ambas direcciones. Un homeomorfismo que también conserva distancias se denomina isometría.
¿Un homeomorfismo preserva la compacidad?
3.3 Propiedades de los espacios compactos
Antes señalamos que la compacidad es una propiedad topológica de un espacio, es decir se conserva mediante un homeomorfismo. Aún más, es conservado por cualquier función sobre continua.
¿Es la completitud una propiedad topológica?
La completitud no es una propiedad topológica, es decir, no se puede inferir si un espacio métrico está completo simplemente observando el espacio topológico subyacente.
¿Por qué la acotación no es una propiedad topológica?
Para los espacios métricos tenemos una noción de acotación: es decir, un espacio métrico está acotado si existe algún número real M tal que d(x, y) ≤ M para todo x, y. La acotación no es una propiedad topológica. Por ejemplo, (0, 1) y (1, ∞) son homeomorfos pero uno está acotado y el otro no. ∞ n=1 es una secuencia de puntos en X.